Геометрический смысл производной презентация алимов. Геометрический смысл производной презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 2

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. А.Н.Крылов

Слайд 3

Цель урока

1) выяснить, в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнения касательной к графику функции 2) Развивать ОУУН мыслительной деятельности: анализ, обобщение и систематизация, логическое мышление, сознательное восприятие учебного материала 3) формировать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать, способствовать развитию потребности к самообразованию. Воспитание ответственности, коллективизма.

Слайд 4

Словарь урока

производная, линейная функция, угловой коэффициент, непрерывность, тангенсы углов (острый, тупой).

Слайд 5

Составь пару 3 мин каждый ученик работает самостоятельно, 2 минуты - работа в парах. Обсуждение результатов и запись в карточку ответов. (Карточка №1 остается у ученика для самоконтроля, карточка №2 должна быть сдана учителю)

Слайд 6

Ответ.

Составь пару

Слайд 7

Определение

Функция заданная с помощью формулы у=кх+b называется линейной. Число k=tg называется угловым коэффициентом прямой.

Слайд 8

y x -1 0 1 2 y=кх+b

Слайд 9

y x -1 0 1 2 y=кх+b

Слайд 10

y x 0 y=yₒ+к(х-xₒ)   x-xₒ y-yₒ xₒ x Mₒ(xₒ;yₒ) M(x;y) A(x;yₒ)

Слайд 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х0;у0) у=у0+k(x-x0) Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (х0;у0) у=у0+k(x-x0) (1) Угловой коэффициент прямой проходящий через точки (х1;у1) и (х0;у0) (2)

Слайд 12

y x -1 0 1 2 Найдите угловой коэффициент прямой y=кх+b

Слайд 13

Определение

Касательной к графику функции у=f(x) называется предельное положение секущей. рисунок

Слайд 14

касательная секущая

Слайд 15

Практическая исследовательская работа Геометрический смысл производной

Цель: Используя данные практической работы определить, в чем состоит геометрический смысл производной Оборудование: Линейки, транспортиры, микрокалькуляторы, миллиметровая бумага с построенным графиком

Слайд 16

Задание

1. Постройте касательную к графику функции … в точке с абсциссой хₒ=2 2. Измерьте угол, образованный касательной и положительным направлением оси оХ. 3. Записать =… . 4. Вычислите с помощью микрокалькулятора tg=… . 5. Вычислите f´(xₒ), для этого найдите f´(x) 6. Запишите: f´(x)=…. ; f´(xₒ)=…. 7. Выберите две точки на графике касательной, запишите их координаты. 8. Вычислите угловой коэффициент прямой k по формуле 9. Результаты вычисления внесите в таблицу

Слайд 17

Геометрический смысл производной

Значение производной функции y=f(х)в точке х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(х) в точке (х0;f(x0))

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Уравнение касательной к графикуфункции

1. Запишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящую через точку 2. Замените k на, а у=у0+k(x-x0)

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. f (x)

Используя формулы и правила дифференцирования, найдите производные следующих функций:

1 . В чем состоит геометрический смысл производной? 2 . В любой ли точке графика можно провести касательную? Какая функция называется дифференцируемой в точке? 3 . Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции? 4 . Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции? 5 . Касательная наклонена под прямым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о производной?

для дифференцируемых функций: 0 ° ≤ α ≤ 180 ° , α ≠ 90 ° α - тупой tg α 0 f ´(x 1) >0 положение касательной не определено tg α не сущ. f ´(x 3) не сущ. α = 0 tg α =0 f ´(x 2) = 0

y = f / (x 0) · (x - x 0) + f(x 0) (x 0 ; f(x 0)) – координаты точки касания f ´ (x 0) = tg α = k – тангенс угла наклона касательной в данной точке или угловой коэффициент (х;у) – координаты любой точки касательной Уравнение касательной

№1. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х 0 = - 2. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

№2. Укажите значение коэффициента k при котором графики линейных функций y = 8х+12 и y = k х – 3 параллельны. Ответ: 8. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

0 У Х 1 -1 1 -1 №3. Функция у = f (х) определена на промежутке (-7; 7). На данном ниже рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f (х), которые параллельны оси абсцисс. Ответ: 3. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

№4. На рисунке изображена прямая, которая является касательной к графику функции у = p (х) в точке (х 0 ; p (х 0)). Найдите значение производной в точке х 0 . Ответ: -0,5. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

0 У Х 1 -1 1 -1 №5. К графику функции f(x) провели все касательные параллельные прямой y=2x+5 или совпадающие с ней. Укажите количество точек касания. Ответ: 4. Задание В8 ФБТЗ ЕГЭ

Напишите уравнения касательных к графику функции в точках его пересечения с осью абсцисс. Самостоятельная работа

Фамилия, имя Тестирование Творческое задание Урок +,-, :), :(, : |

1 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) =0,5 -4, если касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45 градусов.

2 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = , параллельной прямой y = 9 х – 7.

3 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции у = f (х) в точке А (-7;14). Найдите.

4 группа №1. В чем заключается геометрический смысл производной? № 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x), заданная на интервале (a ; b), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b) ее график имел касательную? № 3. Какой вид имеет уравнение касательной? № 4. Прямая у=-4х-11 является касательной к графику функции. Найдите абсциссу точки касания.

Предварительный просмотр:

Сценарий урока
по алгебре и началам анализа в 10 классе.

Тема: «Геометрический смысл производной. Уравнение касательной»

Цели: 1) продолжить формирование системы математических знаний и умений по теме «Уравнение касательной», необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

2) развивать навыки использования компьютера и мультимедийных учебных программ для организации собственной познавательной деятельности;

3) развивать логическое мышление, алгоритмическую культуру, критическое мышление;

4) воспитывать толерантность, коммуникативность.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Сообщение темы, постановка целей урока.
3. Проверка домашнего задания.

1. Задания базового уровня (отсканированная работа)
2. Задачу практического содержания повышенного уровня сложности обучающиеся решали по выбору. Один из учеников представляет свое решение в форме мультимедийного проекта: «Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и В, расстояние между которыми равно 200 м. Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 150. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат»

1. Актуализация опорных знаний.

1. Продифференцируйте функции:

• ()
• y=4 ()
• y=7x+4 ()
• y=tg x+ ()
• y=x 3 sin x ()
• y= ()

1. Ответьте на вопросы:

• В чем состоит геометрический смысл производной?
• В любой ли точке графика можно провести касательную? Какая функция называется дифференцируемой в точке?
• Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси Ох. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Касательная наклонена под прямым углом к положительному направлению оси ОХ. Что можно сказать о знаке производной и характере монотонности функции?
• Как должен выглядеть график дифференцируемой в точке функции?

1. Какой вид имеет уравнение касательной? Объясните, что в данном уравнении (х 0 ; f(х 0 )) , f ’ (х 0 ), (х;у)
2. Найдите угловой коэффициент касательной к кривой y=2х 2 +х в точке с абсциссой х 0 =-2 (-7).
3. Укажите значение коэффициента k при котором графики линейных функций y = 8х+12 и y = kх – 3 параллельны. (8)
4. Функция у = f(х) определена на промежутке (-7; 7). На данном ниже рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции у = f(х), которые параллельны оси абсцисс. (3)
5. На рисунке изображена прямая, которая является касательной к графику функции у = p(х) в точке (х 0 ; p(х 0 )). Найдите значение производной в точке х 0 . (-0,5)
6. К графику функции f(x) провели все касательные параллельные прямой y=2x+5 или совпадающие с ней. Укажите количество точек касания. (4)

1. Самостоятельная работа с выборочной проверкой (один уч-ся выполняет задание за доской). Напишите уравнения касательных к графику функции f (x ) = 4 – x 2 в точках его пересечения с осью абсцисс. (у=-+4х+8). Демонстрация иллюстрации.
2. Работа в творческих группах по 5-6 человек.

1. По очереди пройти компьютерное тестирование (Дополнительное тестирование к уроку 5, вар. 1 и 2 «Уроки алгебра Кирилла и Мефодия»). Результаты вносят в диагностическую карту.
2. Выполнить в тетрадях задания:

1 группа

у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b

№ 4. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) =0,5 х 2 -4, если касательная образует с осью х угол 45 0 .

2 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Напишите уравнение касательной к графику функции f (x ) = x 3 /3 , параллельной прямой y = 9 х – 7.

3 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции
у = f (х ) в точке А (-7;14). Найдите . (Задание из КИМ по подготовке к ЕГЭ)

4 группа

№1. В чем заключается геометрический смысл производной?

№ 2. Какими свойствами должна обладать функция у = f (x ), заданная на интервале (a ; b ), чтобы в точке с абсциссой х 0 Є (a ; b ) ее график имел касательную?

№ 3. Какой вид имеет уравнение касательной?

№ 4. Прямая y=-4x-11 является касательной к графику функции f(x)=x 3 +7x 2 +7x-6. Найдите абсциссу точки касания. (Задание из КИМ по подготовке к ЕГЭ)

Отчет о проделанной работе выполняет у доски один из группы. Его выбирает учитель или группа. В диагностическую карту заносят отметку отвечавшего и самооценку каждого участника группы.

1. Подведение итогов урока. Рефлексия.
2. Домашнее задание состоит из упражнений В8 ФБТЗ ФИПИ.

Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации: В.Н. Егорова, учитель математики КОУ «Средняя школа №1 (очно-заочная)»Определение производной. Производная функции - одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная АСВtg A-?tg В -?АВСРабота устноТангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему

АСВtg A-?tg В -?47АВСНайдите градусную меру < В.3Найдите градусную меру < А.Работа устноВычислите tgα, если α = 150°.

На рисунке - графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?Работа устно Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции разная. Что касается Матвея - у его дохода она вообще отрицательнаРабота устно

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем? На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами - насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может меняться быстрее или медленнее
Производная- это скорость изменения функцииКонспект
Задачи, приводящие к понятию производной1. Задача о скорости изменения функцииНарисован график некоторой функции. Возьмем на нем точку с абсциссой. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Для оценки крутизны графика функции удобная величина - тангенс угла наклона касательной. В качестве угла наклона мы берем угол между касательной и положительным направлением оси OX Найдем k=tg α∆АМN: ˂ АNМ = 90˚, tgα = 𝐴𝑁𝑀𝑁 Геометрический смысл производнойКонспект

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Геометрический смысл производнойПроизводная функции равна тангенсу угла наклона касательной-это есть геометрический смысл производной
SВремя в пути равно tАBU=S / tЗадачи, приводящие к понятию производной2. Задача о скорости движения
ЗАДАЧА. По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения(метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой S=s(t), где t – время (в секундах), s(t) – положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).РЕШЕНИЕ. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке MOM=S(t). Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим ситуацию в момент времени t + ∆t . Координата материальной точки станет другой, тело в этот момент будет находиться в точке P: OP= s(t+ ∆t) – s(t). Значит, за ∆t секунд тело переместилось из точки M в точку P.Имеем: MP=OP – OM = s(t+ ∆t) – s(t). Полученная разность называется приращением функции: s(t+ ∆t) – s(t)= ∆s. Итак, MP= ∆s (м).Тогда средняя скорость на промежутке времени : 𝑣ср.=∆𝑆∆𝑡 Средняя скорость S(t)S(t + Δt)0МРΔt
Производной функции y = f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.Обозначение производной: 𝑦′𝑥0 или 𝑓′𝑥0 𝑓′𝑥0=lim∆𝑥→0∆𝑦∆𝑥 или 𝑓′𝑥0=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥 ОпределениеКонспект
Мгновенная скорость – это средняя скорость на промежутке при условии, что ∆t→0, т. е.:𝒗мгнов.=𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎𝒗ср.=𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎∆𝑺∆𝒕 Мгновенная скоростьКонспект Рассмотрим два значения аргумента х0 и ∆х, где ∆х-приращение аргумента.Найдём приращение функции ∆f(x) = f(x0 + ∆х) – f(x0)Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента ∆𝐟(х)∆хВычислим предел этого отношения при ∆х → 0 lim∆𝑥→0Δ𝑓(𝑥)Δ𝑥=𝑓′(𝑥) Алгоритм нахождения производной (по определению) Пример вычисления производнойРешениеКонспект

Пример 2.Найти производную функции y = xРешение: f(x) = x.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑥+∆𝑥−𝑥=∆𝑥.3.∆𝑓∆𝑥=∆𝑥∆𝑥=1.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→01=1.Значит, (𝒙)′ = 1 Пример вычисления производной Пример 3.Найти производную функции y = x2Решение: f(x) = x2.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=(𝑥+∆𝑥)2−𝑥2=𝑥2+2𝑥∆𝑥+(∆𝑥)2−𝑥2=∆𝑥(2𝑥+∆𝑥).3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=∆𝑥(2𝑥+∆𝑥)∆𝑥=2𝑥+∆𝑥.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0(2𝑥+∆𝑥)=lim∆𝑥→02𝑥+lim∆𝑥→0∆𝑥=2𝑥.Значит, (𝒙𝟐)′ = 2x Пример вычисления производной Пример 4.Найти производную функции y =𝒌𝒙+𝒎Решение: f(x) = 𝑘𝑥+𝑚.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑘𝑥+∆𝑥+𝑚− 𝑘𝑥−𝑚=𝑘𝑥+𝑘∆𝑥−𝑘𝑥=𝑘∆𝑥.3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=𝑘∆𝑥∆𝑥=𝑘.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0𝑘=𝑘.Значит, (𝒌𝒙+𝒎)′ = k Пример вычисления производной Пример 5.Найти производную функции y = 𝟏𝒙Решение: f(x) = 1𝑥.1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥= 1𝑥+∆𝑥−1𝑥=𝑥−𝑥−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥) .3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥):∆𝑥=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)∆𝑥=−1𝑥(𝑥+∆𝑥) .4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0−1𝑥(𝑥+∆𝑥)=−1lim∆𝑥→01𝑥2+𝑥∆𝑥=−lim∆𝑥→01lim∆𝑥→0𝑥2+lim∆𝑥→0𝑥∆𝑥=−1𝑥2 .Значит, 𝟏𝒙′ = −𝟏𝒙𝟐 Пример вычисления производной Таблица производных𝑪′=𝟎 𝒙’ = 1𝒙𝟐′=𝟐𝒙𝒌𝒙+𝒎′=𝒌𝟏𝒙= −𝟏𝒙𝟐 Закончи фразу:Наш сегодняшний урок был посвящен …На уроке я узнал, что …На уроке я научился …Производная функции в точке равна … касательной, проведенной к графику функции в данной точкеСкорость изменения функции - это …Мне было трудно … МОЛОДЦЫ!
ppt_y

Приложенные файлы

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Глуховская средняя общеобразовательная школа

Конспект открытого урока по алгебре

на тему:

«Производная и её геометрический смысл. Производная в ЕГЭ»

учитель математики и информатики

Дикалов Дмитрий Геннадьевич

2015

Конспект урока на тему: Производная и её геометрический смысл

Цели урока:

Обучающие:

• Повторить основные понятия раздела «Производная»
• Научить учащихся быстрому решению задач на тему «Производная» из вариантов ЕГЭ

Развивающие:

• Развитие познавательного интереса, логического мышления, развитие памяти, внимательности.
• воспитывать интерес к структуре компьютерных сетей.

Воспитательные:

• воспитывать добросовестное отношение к труду, инициативность;
• воспитание дисциплины и организованности

Тип урока:

• урок повторения и закрепления знаний

Структура урока:

• организационный момент;
• актуализация опорных знаний
• решение задач
• домашнее задание

Оборудование : программа презентаций Microsoft Office PowerPoint, презентация, компьютер, мультимедиа проектор, интерактивная доска.

План урока:

1. Организационный момент (1 мин)
2. Актуализация знаний (5 мин)
3. Решение задач (34 мин)
4. Подведение итогов урока (4 мин)
5. Домашнее задание (1 мин)

Ход урока:

I. Организационный момент

Учитель здоровается, знакомит с темой, целями и ходом урока.

II. Актуализация знаний

1. 1. В чём состоит геометрический смысл производной?
2. Как находятся промежутки возрастания (убывания) функции?
3. Назовите алгоритм нахождения точек экстремума?
4. Чем стационарные точки отличаются от точек экстремума?

III. Решение задач.

Решение задач на нахождение производной в точке, нахождение промежутков возрастания и убывания, нахождение точек в которых производная =0, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Данные задачи учащиеся решают с использование интерактивной доски, каждая задача изображается на отдельном слайде.

Учащиеся по мере движения слайдов обсуждают нюансы решения задач.

Следующие задачи предлагаются учащимся на самостоятельное решение.

IV. Подведение итогов урока.

Для подведения итогов урока, к доске вызываются 1-2 учащихся для решения задач из учебника №956(1,2): найти интервалы возрастания и убывания функции у=2х 3 +3х 2 -2

Решение учащегося:

Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции найдём её производную:

у`=6х 2 +6х

Для нахождения стационарных точек, приравняем производную к 0 и решим данное уравнение, получим точки х=0 и х=-1. Найдем среди этих точек точки экстремума. Для этого определим знак производной на каждом из трёх интервалов. На интервале х0 производная положительна – значит, на этих интервалах функция возрастает. На интервале

1

Учащийся записывает ответ.

V. Домашнее задание

№957, №956(доделать)

Выставление оценок учащимся, активно проявившим себя на уроке.